#Fast Fourier Transform

快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，以下简称FFT）是离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，以下简称DFT）的快速算法，是时域一频域变换分析中最基本的方法之一。该算法可以实现数据从时域到频域之间的转换，为数据提供了另一维度的处理方法支持。在工程实践中，DFT算法由于计算量过大，无法在实际中广泛实现，FFT算法通过改进DFT的计算方法，将计算量优化到了可以实践的量级，离散傅里叶变换才真正在工程领域广泛应用了起来。

#算子效果

时域输入数据	参数	频域输出数据
	p_size = HB_HPL_FFT16 normalize = 0 dataType = HB_HPL_DATA_TYPE_I16 imFormat = HB_IM_FORMAT_SEPARATE numDimensionSize = 1

#原理

FFT是基于DFT算法的改进方法，在计算结果上与DFT等效，优化了计算过程。若F(n)为f(n)的离散傅里叶变换，DFT计算公式表达如下：

$$F(n)=\sum_{k=0}^{N-1}f(k)W_N^{kn},\qquad n=0,1,\cdots,N-1$$

其中，旋转因子为 $W_N^{kn}=e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}$ ，N为输入序列长度。

IDFT为DFT的逆运算，其计算公式表达如下：

$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}F(k)W_N^{-kn},\qquad n=0,1,\cdots,N-1$$

另一个基础公式为欧拉公式：

$$e^{ix}=cos(x)+i*sin(x)$$

由欧拉公式可以推导出旋转因子具有以下特性：

$$W_N^{0}=e^{-j\frac{2\pi}{N}0}=e^{-j0}=cos(0)+jsin(0)=1$$ $$W_N^{k\frac{N}{2}}=(cos(-\pi)+jsin(-\pi))^k=(-1)^k$$ $$W_N^{2kn}=e^{j(\frac{2\pi}{\frac{N}{2}})kn}=W_{\frac{N}{2}}^{kn}$$

对于N点DFT公式，可以按照奇偶顺序将公式分解如下：

$$F(n)=\sum_{k=0}^{N-1}f(k)W_N^{kn}=E+O$$ $$E=\sum_{k=0}^{\frac{N}{2}-1}f(2k)e^{\frac{-j2\pi kn}{\frac{N}{2}}}$$ $$O=W_N^n\sum_{k=0}^{\frac{N}{2}-1}f(2k+1)e^{\frac{-j2\pi kn}{\frac{N}{2}}}$$

分解效果如图，将整体的计算任务逐层二分。

由上可知，N为2的幂次时，FFT任务都可以被分解为单点的计算任务。

由欧拉公式， $W_N^{n}$ 可以写成如下形式，可以看出 $W_N^{n}$ 具有随N相关的周期性和对称性。

$$W_N^{n}=e^{-j\frac{2\pi}{N}n} =cos(-\frac{2\pi}{N}n)+i*sin(-\frac{2\pi}{N}n) =cos(\frac{2\pi}{N}n)-i*sin(\frac{2\pi}{N}n)$$

根据此性质就可以得到 $W_N^{n}=W_N^{\frac{N}{2}+n}$ ，其中 $n$ 取值范围是 $[0, N/2)$ 。

以N为8的FFT运算为例，具体分解过程如下：

1. 将8点拆解为4点

2. 4点拆解为2点

3. 计算单点FFT

其中，节点两两交错的计算过程被称为蝶形运算，形式如下：

具体计算公式为：

$$F'_{N/4}(0) = f_N(0)+W^0_{N/4}*f_N(4)$$ $$F'_{N/4}(1) = f_N(0)-W^0_{N/4}*f_N(4)$$

上图中可以看出，F(n)和f(n)之间的n存在比特反的关系。即FFT运算中，输入输出参数之间的索引值是互相的比特相反数，为优化计算效率提供了更好的支持。

IFFT的计算过程和FFT类似，根据IDFT公式推导即可。

#API接口

详细接口信息请查看 hbFFT1D。

#使用方法